圆系方程 题目_圆系方程的例题
2023-08-13 04:11:46
(资料图片)
1、例2：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。
2、分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。
3、自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。
4、为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。
5、则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
6、解：圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0，即2x+2y-11=0过直线2x+2y-11=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0，即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。
7、即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8。
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